leetcode ： 62. 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
提示：
-
1 <= m, n <= 100 -
题目数据保证答案小于等于
2 * 109
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数学
动态规划
组合数学
思路1：递归
每次计算向右和向下的路径和，返回。
经过测试，超时，因为计算的很多重复的点。
class Solution {
? ?private int m;
? ?private int n;
? ?public int uniquePaths(int m, int n) {
? ? ? ?this.m = m;
? ? ? ?this.n = n;
? ? ? ?return fun(1,1);
? }
? ?public int fun(int i, int j){
? ? ? ?if(i == m && j == n){
? ? ? ? ? ?return 1;
? ? ? }
? ? ? ?//向右
? ? ? ?int right = 0;
? ? ? ?if(j < n){
? ? ? ? ? ?right = fun(i,j+1);
? ? ? }
? ? ? ?//向下
? ? ? ?int down = 0;
? ? ? ?if(i < m){
? ? ? ? ? ?down = fun(i+1,j);
? ? ? }
? ? ? ?return right+down;
? }
}//超时
思路2：动态规划(从右下角往左上角递归)
思路1 的修改，举例说明，要计算P(0,0) = P(1,0)+P(0,1)。我们计算P(1,0)时，需要计算P(1,1)。计算P(0,1)时，也需要计算P(1,1)。导致计算重复，思路1超时。
可以使用动态规划的思路，将递归时计算的P(i,j)保存，如果这个值已经计算出来，那么直接拿出来，如果没计算，再递归，这样每一个位置只会计算一次。
class Solution {
? ?//m ，n表示终点的下标
? ?private int m;
? ?private int n;
? ?private int[][] dp;
? ?public int uniquePaths(int m, int n) {
? ? ? ?this.m = m-1;
? ? ? ?this.n = n-1;
? ? ? ?dp = new int[m][n];
? ? ? ?return fun(0,0);
? }
? ?public int fun(int i, int j){
? ? ? ?if(i == m && j == n){
? ? ? ? ? ?dp[m][n] = 1;
? ? ? ? ? ?return 1;
? ? ? }
? ? ? ?//向右 如果i,j+1已经计算过 就直接返回
? ? ? ?int right = 0;
? ? ? ?if(j < n){
? ? ? ? ? ?right = dp[i][j+1] == 0 ? fun(i,j+1) : dp[i][j+1];
? ? ? }
? ? ? ?//向下
? ? ? ?int down = 0;
? ? ? ?if(i < m){
? ? ? ? ? ?down = dp[i+1][j] == 0 ? fun(i+1,j) : dp[i+1][j];
? ? ? }
? ? ? ?dp[i][j] = right+down;
? ? ? ?return dp[i][j];
? }
}
解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:38 MB,击败了30.59% 的Java用户
思路3: 动态规划(从左上角往右上角计算)
参考leetcode官方：计算0，0点每一个点的路径和。
分析：P(i,j) = P（i-1,j) + P(i,j-1)
-
从0,0点开始计算，但是i-1和j-1可能会越界。
-
从0,0开始到第一行的任意一个点的路径只有1个，同理，到第一列的任意一个点路径只有1个。这样就可以解决越界问题。
class Solution {
? ?//m ，n表示终点的下标
? ?public int uniquePaths(int m, int n) {
? ? ? ?int[][] dp = new int[m][n];
? ? ? ?//第一列
? ? ? ?for(int i = 0 ; i < m;i++){
? ? ? ? ? ?dp[i][0] = 1;
? ? ? }
? ? ? ?//第一行
? ? ? ?for(int j = 0 ; j < n;j++){
? ? ? ? ? ?dp[0][j] = 1;
? ? ? }
? ? ? ?for(int i = 1;i < m;i++){
? ? ? ? ? ?for(int j = 1;j < n;j++){
? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
? ? ? ? ? }
? ? ? }
? ? ? ?return dp[m-1][n-1];
? }
?
}
解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:38.3 MB,击败了10.63% 的Java用户
思路4：组合数学
从左上角到右下角的过程中，我们需要移动 m+n?2 次，其中有 m?1 次向下移动，n?1 次向右移动。因此路径的总数，就等于从 m+n?2 次移动中选择 m?1 次向下移动的方案数，即组合数：C(m-1,m+n-2) = (m+n-2)(m+n-1).....n/(m-1)(m-2)....1
public int uniquePaths(int m, int n) {
? ?long ans = 1;
? ?int i = n;
? ?int j = 1;
? ?//注意 ans*i可能会越界 需要long解决越界问题
? ?while (j < m){
? ? ? ?ans = ans * i / j;
? ? ? ?i++;
? ? ? ?j++;
? }
? ?return (int)ans;